\documentstyle[cyralt,A4,12pt]{article}

\def\baselinestretch{1.0}

\begin{document}
\language1

\bigskip
\noindent
 1. Вывести уравнение адиабатического процесса для идеального газа с фиксированным
    числом частиц $N$ в переменных $(p, v=V/N);$ $c_{p}$ и $c_{v}$ -- удельные (в
    расчете на одну частицу) теплоемкости.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $pv^{\gamma} = {\rm const}, \,\, \gamma = c_{p}/c_{v}$.

\bigskip
\noindent
 2. Найти самый общий вид уравнения состояния $p = p(V,T)$ и
    калорического уравнения $U = U(V,T)$ для газа с постоянными
    теплоемкостями $C_{p}, C_{V}.$ Здесь $p,V,T,U$ -- давление, объем,
    температура и внутренняя энергия газа; $C_{p}$ и $C_{V}$ --
    теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме.

\noindent
ОТВЕТ: \, $p=(C_{p}-C_{V})/(V-B), \,\, U=C_{V}T,$
где $B$ -- произвольная константа.

\noindent
    УКАЗАНИЕ:  использовать тождества, следующие из а) второго начала, б) постоянства $C_{p}, C_{V}.$

\bigskip
\noindent
 3. Найти удельные (в расчете на одну частицу) изменения значений
    внутренней энергии $\Delta \varepsilon$ и энтропии $\Delta s$ при
    равновесном пeреходе системы из одного состояния в другое для:
    1) идеального газа: \, $c_{v} = {\rm const}, \,\, pv = k_{\rm Б}T,$
    2) газа Ван-дер-Ваальса: \, $c_{v} = {\rm const}, \,\, (p + a/v^{2})(v - b) = k_{\rm Б}T.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, 1) $\Delta \varepsilon = с_{v}(T_{2} - T_{1}), \,\, \Delta s = с_{v}{\rm ln}(T_{2}/T_{1}) + k_{\rm Б}{\rm ln}(v_{2}/v_{1});$
\\ 2) $\Delta \varepsilon = с_{v}(T_{2} - T_{1}) - a(v_{1} - v_{2})/(v_{1}v_{2}),$ \,\,
\\ $\Delta s = с_{v}{\rm ln}(T_{2}/T_{1}) + k_{\rm Б}{\rm ln}((v_{2} - b)/(v_{1} - b)).$

\bigskip
\noindent
 4. Найти химический потенциал $\mu$ идеального газа и газа
    Ван-дер-Ваальса.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\mu_{\rm ид} = pv + c_{v}T(1 - {\rm ln}T) - k_{\rm Б}T{\rm ln}v + \mu_{1};$
\\  $\mu_{\rm вдв} = pv - a/v + c_{v}T(1 - {\rm ln}T) - k_{\rm Б}T{\rm ln}(v - b) + \mu_{2};\,\,$
    $\mu_{1,2}$ -- константы.

\bigskip
\noindent
 5. Получить выражение, связывающее внутреннюю энергию $U$ системы с
    постоянным числом частиц со статистическим интегралом $Z$.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $U = k_{\rm Б}T^{2}(\partial {\rm ln}Z/ \partial T)_{V}.$

\bigskip
\noindent
 6. Получить выражение, связывающее энтропию $S$ системы с постоянным
    числом частиц со статистическим интегралом $Z$.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $S = k_{\rm Б}T^{2} (\partial (T{\rm ln}Z)/ \partial T)_{V}.$

\bigskip
\noindent
 7. Показать, что дисперсия энергии для канонического распределения Гиббса
    определяется соотношением $\overline{\Delta E^{2}} = \overline{(E - \overline{E})^{2}} = k_{\rm Б}T^{2}C_{V}.$

\bigskip
\noindent
 8. Вычислить среднее значение величин $p_{i}(\partial H/ \partial p_{j})$
    и $q_{i}(\partial H/ \partial q_{j}),$ где $p_{i}$ и $q_{i}$
    -- обобщенные импульс и координата классической системы, находящейся
    в термостате.

\noindent
    ОТВЕТ: \,  $\overline{p_{i} (\partial H/ \partial p_{j})} = \overline{q_{i} (\partial H/ \partial q_{j})} = k_{\rm Б}T\delta_{ij}.$

\bigskip
\noindent
 9. Найти среднее значение потенциальной энергии классического
    гармонического осциллятора.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\overline{U} = k_{\rm Б}T/2.$

\bigskip
\noindent
10. Оценить теплоемкость $C_{V}$ классического идеального газа,
    состоящего из: а) двухатомных молекул; б) трехатомных линейных
    молекул; в) трехатомных нелинейных молекул. Колебания атомов в
    молекулах считать гармоническими.

\noindent
    ОТВЕТ: \, а) $C_{V} = 7Nk_{\rm Б}/2;$ \,\, б) $C_{V} = 13Nk_{\rm Б}/2;\,\,$ в) $C_{V} = 6Nk_{\rm Б}.$

\bigskip
\noindent
11. Найти среднюю потенциальную энергию частицы, движущейся во внешнем
    поле с потенциалом $U(r) = \alpha r^{2n}$ \, ($n$ -- натуральное
    число).

\noindent
    ОТВЕТ: \, $U = k_{\rm Б}T/(2n).$

\bigskip
\noindent
12. Оценить теплоемкость твердого тела, содержащего $N \gg 1$ атомов.
    Движение атомов считать классическим.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $C_{V} = 3Nk_{\rm Б}$ \,\, (закон Дюлонга и Пти).

\bigskip
\noindent
13. Рассчитать первые, пропорциональные температуре, поправки к удельной
    (в расчете на одну частицу) теплоемкости идеального двухатомного
    газа, связанные с учетом малых ангармонических членов в потенциале
    связи атомов в молекуле $U(x) = \alpha x^{2} + \beta x^{3} + \gamma x^{4},$
    $\alpha > 0,$ $\beta > 0.$ Момент инерции молекулы считать
    постоянным.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $c_{v} = \frac{7}{2}k_{\rm Б} + (\frac{15}{8}\beta^{2}/\alpha^{3} - \frac{3}{2}\gamma/\alpha^{2}) k_{\rm Б}^{2}T.$

\bigskip
\noindent
14. В объеме $V$ содержится $N$ одинаковых атомов идеального газа при
    температуре $T$. Вычислить статистический интеграл системы.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $Z = (2 \pi m k_{\rm Б} T)^{3N/2} V^{N}.$

\bigskip
\noindent
15. Вычислить внутреннюю энергию $U$ и давление $p$ идеального газа.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $U = 3N k_{\rm Б} T/2; \,\, p = N k_{\rm Б} T/V.$

\bigskip
\noindent
16. Выполнить расчет внутренней энергии $U$ и давления $p$ идеального
    газа путем усреднения гамильтониана $H$ и случайной силы $\Delta F$,
    действующей на малую площадку $\Delta S$ сосуда $(p = \overline{\Delta F} / \Delta S).$

\bigskip
\noindent
17. Вычислить энтропию и свободную энергию идеального газа, состоящего
    из $N$ частиц массы $m,$ занимающего объем $V$ и находящегося при
    температуре $T.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $S = Nk_{\rm Б}(f + 5/2), \,\, F = Nk_{\rm Б}T(1 + f),$
\\  где  $f(V/N,m,T) = {\rm ln}\left[ (V/N) (2\pi mk_{\rm Б}T)^{3/2} /(2\pi \hbar)^{3}\right].$

\bigskip
\noindent
18. Найти изменение энтропии при смешении двух масс одноатомных газов,
    первоначально занимавших объемы $V_{1}$ и $V_{2}$ при температурах
    $T_{1}$ и $T_{2}.$ Массы газов $m_{1}$ и $m_{2}.$ Молярная масса
    газа $\mu.$ После смешения объем газа $V_{1} + V_{2}.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\Delta S = (k_{\rm Б}N_{0}/\mu) \sum_{i=1}^{2} m_{i}{\rm ln} \left[p_{i}T^{5/2}/ (pT_{i}^{5/2}) \right],$
\\ $T = (m_{1}T_{1} + m_{2}T_{2})/(m_{1} + m_{2}),$ \,\, $N_{0}$ -- число Авогадро,
\\ $p = (m_{1} + m_{2}) k_{\rm Б}N_{0}T/ \left[\mu (V_{1} + V_{2})\right].$

\bigskip
\noindent
19. Идеальный газ находится в равновесии в цилиндре высотой $h$ и с
    радиусом основания $R.$ Цилиндр вращается вокруг своей оси с угловой
    скоростью $\omega.$ Общее число атомов $N,$ температура $T.$ Найти
    давление газа на боковую поверхность цилиндра.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $p = Nm \omega^{2} R^{2} \tilde{g} / \left[2V(\tilde{g} - 1)\right],$\,\, где $\tilde{g} = {\rm exp}(m \omega^{2} R^{2}/ 2k_{\rm Б}T).$

\bigskip
\noindent
20. $N$ молекул идеального газа находятся в сосуде, имеющем вид
    опрокинутого вершиной вниз конуса, образующая которого наклонена к
    вертикальной оси под углом $\alpha.$ Определить плотность газа
    вблизи его вершины. Газ находится в поле силы тяжести. Масса
    молекулы -- $m.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $n = N (mg)^{3}/ \left[2 \pi {\rm tg}^{2} \alpha (k_{\rm Б}T)^{3} \right].$

\bigskip
\noindent
21. Идеальный газ, состоящий из $N$ молекул, обладающих электрическим
    дипольным моментом $\vec{d}$, помещен в постоянное электрическое
    поле с напряженностью $\vec{E}.$ Вычислить величину вектора
    электрической поляризации $\vec{{\cal P}} = ({N}/{V}) <\vec{d}>.$

\noindent
    УКАЗАНИЕ:  учесть, что потенциальная энергия электрического диполя
    равна $U(\theta) = -dE{\rm cos} \theta,$ \, $\theta$ -- угол между
    векторами $\vec{d}$ и $\vec{E}.$

\noindent
ОТВЕТ: \, ${\cal P}=(N/V)d({\rm ctg}a-1/a),\,\, a=dE/k_{\rm Б}T.$

\bigskip
\noindent
22. Вычислить энтропию идеального газа дипольных молекул (см. предыдущую
    задачу) как функцию напряженности приложенного электрического поля $E.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $S(E) = Nk_{\rm Б} \left[{\rm ln}({\rm sh}a/a) - a{\rm ctg}a + {\rm const} \right],$
    $a = dE/k_{\rm Б}T.$

\bigskip
\noindent
23. Идеальный классический газ, состоящий из $N$ частиц массы $m$ каждая, находится в
    цилиндре (высота $h,$ объем $V$) в поле силы тяжести $\vec{g}$
    (образующая цилиндра вертикальна). Определить внутреннюю энергию
    газа и распределение давления по высоте.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\varepsilon = Nk_{\rm Б}T \left[5/2 - \alpha /({\rm e}^{-\alpha} - 1)\right],$
\\
\noindent
    $p(z) = Nmgh/ \left[V(1 - {\rm e}^{- \alpha})\right] {\rm exp}(- mgz/k_{\rm Б}T),$ \,\,
    где  $\alpha = mgh/ k_{\rm Б}T.$

\bigskip
\noindent
24. Исходя из распределения Максвелла $f(\vec{p}),$ найти $f(p_{\rm x}), f(|\vec{p}|), f(\varepsilon)$ \, $(\varepsilon = p^{2}/2m).$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $f(p_{\rm x}) = (2\pi mk_{\rm Б}T)^{-1/2} {\rm exp}(-p_{\rm x}^{2}/ 2mk_{\rm Б}T);$
\\  $f(|\vec{p}|) = 4\pi p^{2} f(\vec{p});$ \,\,
    $f(\varepsilon) = 2\pi (\pi mk_{\rm Б}T)^{-3/2} {\rm exp}(-\varepsilon/ k_{\rm Б}T) \sqrt{\varepsilon} .$

\bigskip
\noindent
25. Определить наивероятнейшие значения $p_{\rm x}, |\vec{p}|$ и $\varepsilon.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $(p_{\rm x})_{\rm нв} = 0; \,\, (|\vec{p}|)_{\rm нв} = (2mk_{\rm Б}T)^{1/2};$ \,\,
    $(\varepsilon)_{\rm нв} = k_{\rm Б}T/2.$

\bigskip
\noindent
26. Рассчитать средние значения $p_{\rm x}, p_{\rm x}^{2}, p, p^{2}, \varepsilon,$
    $\varepsilon^{2}, \vec{p}, |p_{\rm x}|.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\overline{p_{\rm x}} = 0,$ \,\,
    $\overline{p_{\rm x}^{2}} = mk_{\rm Б}T,$ \,\,
    $\overline{p} = (8k_{\rm Б}Tm/ \pi)^{1/2},$ \,\,
    $\overline{p^{2}} = 3mk_{\rm Б}T,$ \,\,
\\  $\overline{\varepsilon} = 3k_{\rm Б}T/2,$ \,\,
    $\overline{\varepsilon^{2}} = 15 (k_{\rm Б}T)^{2} /4,$ \,\,
    $\overline{(\vec{p})} = 0,$ \,\,
    $\overline{|p_{\rm x}|} = (2k_{\rm Б}Tm/ \pi)^{1/2}.$

\bigskip
\noindent
27. Найти среднеквадратичное отклонение (дисперсию) энергии,
    приходящейся на один атом идеального газа.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $(\overline{\varepsilon^{2}} - \overline{\varepsilon}^{2}) ^{1/2} = \sqrt{6}\, k_{\rm Б}T/2.$

\bigskip
\noindent
28. Найти нормированное распределение $f(E)$ по полной кинетической
    энергии $E$ классического газа, состоящего из $N$ частиц, и с его
    помощью расчитать наивероятнейшее $E_{\rm нв}$ и среднее $\overline{E}$
    значения энергии, а также дисперсию.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $f(E) = E^{(3N-2)/2} {\rm exp}(-E/k_{\rm Б}T)/ \left[(k_{\rm Б}T)^{3N/2} \Gamma(3N/2)\right];$
\\  $E_{\rm нв} = (3N/2 - 1)k_{\rm Б}T;$ \,\, $\overline{E} = 3Nk_{\rm Б}T/2;$ \,\,
    $(\overline{E^{2}} - \overline{E}^{2}) ^{1/2} = \sqrt{3N/2} \,k_{\rm Б}T.$

\bigskip
\noindent
29. Рассчитать при больших $N$ асимптотический вид распределения $f(E)$
    для суммарной кинетической энергии $E$ классического газа из $N$
    частиц (см. задачу 26). Сравнить с видом распределения $f_{0}(E),$
    предсказываемым центральной предельной теоремой теории вероятностей.

\bigskip
\noindent
30. Найти распределение по углам частиц максвелловского газа, вылетающих
    в вакуум из небольшого (площади $S$) отверстия в стенке сосуда в
    единицу времени.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $f(v,\theta,\varphi) = Sv^{3} {\rm cos}\theta {\rm sin}\theta (m/ 2\pi k_{\rm Б}T)^{3/2} {\rm exp}(-mv^{2}/2k_{\rm Б}T).$

\bigskip
\noindent
31. Найти полное число частиц ${\Delta \cal N}$ максвелловского газа,
вылетающих из малого отверстия площади $S$ за время $\Delta t.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, ${\Delta \cal N} = nS\Delta t(k_{\rm Б}T)^{1/2}/ (2\pi m)^{1/2}, \,\, n = N/V.$

\bigskip
\noindent
32. Вычислить среднее значение модуля относительной скорости двух частиц
    классического идеального газа.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\overline{|\vec{v_{1}} - \vec{v_{2}}|} = 4(k_{\rm Б}T/ \pi m)^{1/2} = \sqrt{2} \, \overline{v}.$

\bigskip
\noindent
33. Газ, состоящий из $N$ молекул, потенциал взаимодействия которых
    равен $U(q_{1}, \, ... \, , q_{3N}),$ помещен в сосуд с объемом $V.$
    Показать, что в этом случае справедливо соотношение:
    $pV = Nk_{\rm Б}T - \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3N} \overline{q_{i} (\partial U / \partial q_{i})}.$
    Здесь $q_{i}$ -- декартовы координаты положения частиц.

\noindent
    УКАЗАНИЕ:  воспользоваться результатами задачи 8 и учесть, что
    $\partial H/ \partial q_{i} = \partial U/ \partial q_{i} - F_{i},$
    где $F_{i}$ -- компонента силы, действующая со стороны стенки на
    молекулу в направлении $q_{i}.$

\bigskip
\noindent
34. Непосредственным вычислением конфигурационного интеграла $Q_{N}$ для
    классического газа нейтральных частиц показать, что в приближении
    парных столкновений внутренняя энергия и давление выражаются
    формулами:
    $U = (3/2)Nk_{\rm Б}T + (1/2)(N^{2}/V) k_{\rm Б}T^{2} (\partial \beta_{1}/\partial T),\,\, P=Nk_{\rm Б}T/V - (1/2)(N/V)^{2} k_{\rm Б}T \beta_{1},$
    где $\beta_{1} = 4\pi \int \left[{\rm exp}(-\Phi(r)/k_{\rm Б}T) - 1 \right] r^{2}{\rm d}r,\,\,$
    $\Phi(r)$ -- потенциал взаимодействия частиц.

\bigskip
\noindent
35. Исходя из цепочки уравнений Боголюбова, определить двухчастичную
    функцию распределения для разреженного газа концентрации $n,$
    потенциальная энергия взаимодействия молекул которого равна $\Phi (|\vec{r}|),$ в
    нулевом приближении по параметру плотности $nr_{0}^{3} \ll 1.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $f_{2}(|\vec{r}|) = {\rm exp}(-\Phi (|\vec{r}|)/ k_{\rm Б}T).$

\bigskip
\noindent
36. Исходя из цепочки уравнений Боголюбова, определить одночастичную
    функцию распределения для разреженного газа концентрации $n,$
    находящегося во внешнем поле $U(\vec{r}),$ в нулевом приближении по
    параметру плотности $nr_{0}^{3} \ll 1.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $f_{1}(|\vec{r}|) = V {\rm exp}(-U(|\vec{r}|)/ k_{\rm Б}T)/ \int {\rm exp}(-U(|\vec{r}|)/ k_{\rm Б}T) {\rm d} \vec{r}.$

\bigskip
\noindent
37. Рассчитать плотность внутренней энергии $U/V,$ давление $p$ и
    удельную энтропию $S/V$ для разреженного газа концентрации $n$ при
    следующих условиях: потенциальная энергия взаимодействия молекул
    имеет вид
\\  $\Phi(r)= \left\{ \begin{array}{ll} +\infty, & r < r_{0} \\ \tilde{\Phi}(r) < 0, & r > r_{0}, \end{array} \right. \,\,$
    $|\tilde{\Phi}| \ll k_{\rm Б}T, \,\, nr_{0}^{3} \ll 1, \,$ внешнее поле отсутствует.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $U/V = n^{2}(3k_{\rm Б}T/2n - a),$ \,\,
    $p = nk_{\rm Б}T (1 + n(b - a/k_{\rm Б}T)),$ \,\,
\\ $S/V = S_{0} - k_{\rm Б}bn^{2},$
    где \, $S_{0} = k_{\rm Б}n \left\{5/2 + {\rm ln} \left[(2\pi mk_{\rm Б}T)^{3/2}/(2\pi \hbar)^{3}n \right] \right\},$
\\  $a = 2\pi \int_{r_{0}}^{\infty} |\tilde{\Phi}(r)| r^{2}{\rm d}r,$ \,\, $b = 2\pi r_{0}^{3}/3.$

\bigskip
\noindent
38. Рассчитать давление разреженного неидеального газа путем усреднения
    случайной силы $\Delta F,$ действующей на малую площадку $\Delta S$
    сосуда $(p = \overline{\Delta F}/ \Delta S).$ Потенциал
    межмолекулярного взаимодействия имеет вид:
\\ $\Phi(r)= \left\{ \begin{array}{ll} +\infty, & r < r_{0} \\ \tilde{\Phi}(r) < 0, & r > r_{0}, \end{array} \right. \,\, |\tilde{\Phi}| \ll k_{\rm Б}T.$

\noindent
    УКАЗАНИЕ:  учесть, что одночастичная функция распределения $f_{1},$
    в отличие от идеального газа, в окрестности стенки сосуда должна
    учитывать роль взаимодействия с другими молекулами и рассчитываться
    по формуле $f_{1}(\vec{r}) = \int f_{2}(\vec{r}, \vec{r^{\prime}}) {\rm d} V^{\prime}/V.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $p = nk_{\rm Б}T \left[1 + n(b - a/k_{\rm Б}T) \right],$
\\  где $a, b$ -- параметры, определяемые соответствующими выражениями
    через функцию $\Phi (r).$

\bigskip
\noindent
39. Полностью ионизованная плазма содержит положительно и отрицательно
    заряженные частицы с концентрациями $n_{i}$ и удовлетворяет условию
    электронейтральности $\sum_{i} e_{i}n_{i} = 0,$ где $e_{i}$ --
    электрический заряд частиц ${i}-$го сорта. Записать уравнения для
    одно- и двухчастичных равновесных функций распределения $f_{i}$ и
    $f_{ij}.$

\bigskip
\noindent
40. Показать, что в приближении парных корреляций двухчастичная функция
    распределения для равновесной плазмы определяется выражением:
\\  $f_{ij} = 1 - (e_{i}e_{j}/r_{ij}) {\rm exp}(-r_{ij}/k_{\rm Б}T),$ \,\,\,
    $r_{ij} = |\vec{r_{i}} - \vec{r_{j}}|,$
    $r_{\rm D} = \left[k_{\rm Б}T/ (\sum_{i} 4\pi e_{i}^{2} n_{i}) \right]^{1/2}.$

\noindent
    УКАЗАНИЕ:  в приближении парных корреляций $f_{ij} = 1 + g_{ij},$
\\  $|g_{ij}| \ll 1,$ \,\, $f_{12j} \approx f_{12}f_{1j}f_{2j} \approx 1 + g_{12} + g_{1j} + g_{2j}.$

\bigskip
\noindent
41. Используя результат предыдущей задачи, вычислить внутреннюю энергию
    и давление равновесной плазмы в приближении парных корреляций.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $U = V \sum_{i} (\frac{3}{2} k_{\rm Б}T - e_{i}^{2}/ r_{\rm D}) n_{i},$ \,\,
    $P = \sum_{i} (k_{\rm Б}T - \frac{1}{6} e_{i}^{2}/ r_{\rm D}) n_{i}.$

\bigskip
\noindent
42. Рассчитать среднюю энергию линейного квантового гармонического
    осциллятора $\overline{\varepsilon}.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\overline{\varepsilon} = \hbar \omega/2 + \hbar \omega/ ({\rm e}^{\hbar \omega/ k_{\rm Б}T} - 1).$

\bigskip
\noindent
43. На основе квантового канонического распределения Гиббса рассчитать
    средние энергии $E_{e}, E_{m}$ электрического и магнитного поля в
    идеальном колебательном контуре с индуктивностью $L$ и электрической
    емкостью $C.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $E_{e} = E_{m} = \left[\hbar \omega/2 + \hbar \omega/ ({\rm e}^{\hbar \omega/ k_{\rm Б}T} - 1)\right] /2,$ \,\,
    $\omega = 1/ \sqrt{LC}.$

\bigskip
\noindent
44. Полагая, что все $N$ атомов твердого тела совершают гармонические
    колебания около своих положений равновесия с одинаковой частотой
    $\omega,$ найти зависимость теплоемкости $C_{V}$ от температуры.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $C_{V} = 3Nk_{\rm Б}T (T_{0}/T)^{2} {\rm exp}(T_{0}/T)\left[{\rm exp} (T_{0}/T) - 1 \right]^{-2},$ \,\,
    $T_{0} = \hbar \omega/ k_{\rm Б}.$

\bigskip
\noindent
45. Получить на основе квантового распределения Гиббса выражение для
    средней энергии одномерного ротатора с моментом инерции $I.$ На
    основе этого результата рассчитать:
\\  а) асимптотический вид энергии при низких температурах;
\\  б) классическое выражение при высоких температурах;
\\  в) оценку для температуры $T_{0},$ ниже которой в теории газов можно
    считать атомы точечными массами.

\noindent
    ОТВЕТ: \, а) $E \approx (\hbar^{2}/I) {\rm exp}\left[-\hbar^{2}/ (2Ik_{\rm Б}T)\right],$ \,\,
    б) $E \approx k_{\rm Б}T/2,$
\\  в) $T_{0} \sim \hbar^{2}/(m_{0} a_{0}^{2} k_{\rm Б}) \sim 10^{3} {\rm K},$
\\  где $m_{0}, a_{0}$ -- масса электрона и радиус Бора.

\bigskip
\noindent
46. Идеальный газ содержит $N$ двухатомных молекул, обладающих моментом
    инерции $I.$ Учитывая квантовый характер вращательного движения,
    определить его вклад в теплоемкость газа $C_{V}^{\rm вр}$ при высоких и
    низких температурах.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $C_{V}^{\rm вр} \approx Nk_{\rm Б}$ \,\, при \, $T \gg T_{\rm c};$
\\  $C_{V}^{\rm вр} \approx 3Nk_{\rm Б} (2T_{\rm c}/T)^{2} {\rm exp}(-2T_{\rm c}/T)$ \,\, при \, $T \ll T_{c};$ \,\, $T_{c} = \hbar^{2}/(2Ik_{\rm Б}).$

\bigskip
\noindent
47. Электромагнитные волны в полости, имеющей объем $V,$ находятся в
    равновесии с оболочкой при температуре $T.$ Рассчитать энергию
    электромагнитного поля, приходящуюся на интервал частот от $\omega$
    до $\omega + d\omega.$

\noindent
    УКАЗАНИЕ:  электромагнитное излучение можно рассматривать как газ,
    состоящий из фотонов -- частиц с энергией $\hbar \omega,$ движущихся
    со скоростью света и подчиняющихся статистике Бозе -- Эйнштейна.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $\displaystyle u(\omega) d\omega = \frac{V\hbar \omega^{2}} {\pi^{2} c^{3}} \frac{d\omega} {{\rm exp}(\hbar \omega/ k_{\rm Б}T) - 1}$ \,\,
    (формула Планка).

\bigskip
\noindent
48. Для условий предыдущей задачи найти полную энергию равновесного
    электромагнитного излучения и его давление на стенки.

\noindent
    ОТВЕТ: \, $U = \frac{\pi^{2}V} {15 (\hbar c)^{3}} (k_{\rm Б}T)^{4}, \,\,\, P = \frac{1}{3} U/V.$

\bigskip
\noindent
49. Найти полную энергию $\,$ $E_{0}$ $\,$ свободных электронов в металле при $T = 0.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $E_{0} = \frac{3}{5} N\mu_{0}, \,\, \mu_{0} = (\hbar^{2}/2m) (3 \pi^{2} N/ V)^{2/3},$
\\ $N$ -- число свободных электронов.

\bigskip
\noindent
50. Найти давление, создаваемое свободными электронами в металле при $T = 0.$

\noindent
    ОТВЕТ: \, $p = \frac{2}{3} E_{0}/V$ \,\, (см. задачу 49).

\end{document}
